正態分布與股票投資

1. 對數正態分布的基本概念

在概率論與統計學中，對數正態分布是對數為正態分布的任意隨機變數的概率分布。如果 X 是服從正態分布的隨機變數，則 exp(X) 服從對數正態分布；同樣，如果 Y 服從對數正態分布，則 ln(Y) 服從正態分布。 如果一個變數可以看作是許多很小獨立因子的乘積，則這個變數可以看作是對數正態分布。一個典型的例子是股票投資的長期收益率，它可以看作是每天收益率的乘積。
設ξ服從對數正態分布，其密度函數為：
數學期望和方差分別為：

2. 為什麼股票價格服從對數正態分布

我們可以假設連續復利，用lnS1-lnS0來近似股票的收益（S1-S0）/S0，而且根據集合布朗運動可知，此收益是服從正態分布的。

3. 股票投資心理分析的目錄

第一部分心理學與證券投資
第一章導論
一、關於市場
二、投資還是投機
三、基本分析與技術分析
四、心理學與股票投資
第二章心理學的基礎知識
一、概述
二、心理過程
三、個性心理
第三章群體心理
一、群體與群體心理
二、對群體心理的一些早期研究
三、流言的心理分析
四、群體心理的感染效應
五、時尚或流行心理
六、正態分布
七、集群行為與去個性化
八、群體極化與群體思維
第二部分投資者心理分析
第四章股票投資中常見的一些心理幻覺
第五章股票投資中如何保持客觀性
一、恐懼心理
二、貪婪心理
三、過度交易的市場化行為
四、希望：最精緻的心理陷阱
五、克服習慣化的投資偏好
六、克服股市心理焦慮症
第六章避免外部影響堅持獨立思考
一、大眾媒體
二、市場傳聞與小道消息
三、專家與權威的意見
四、綠色草坪效應
第七章滿招損謙受益
第八章耐心是獲利之本
第九章遵守紀律堅持原則
第十章投資人情緒的調節與控制（上）
一、焦慮過度
二、固執己見
三、杞人憂天
四、拒絕承認事實
第十一章投資人情緒的調節與控制（下）
第十二章投資人的個性問題
一、優柔寡斷
二、賭性十足
三、完美主義
四、抑鬱心理
五、得意忘形
第三部分投資大眾心理
第十三章股票投資中的社會心理效應
一、從眾效應
二、時狂現象
三、暗示流言的作用
四、感染效應
第十四章從眾與反從眾：何時持相反意見（上）
第十五章從眾與反從眾：何時持相反意見（中）
一、美國：佛羅里達地產泡沫
二、英國：南海泡沫
三、泡沫膨脹期
四、泡沫破滅期
第十六章從眾與反從眾：何時持相反意見（下）
一、變通性
二、對未來不要妄加猜測
三、未來是由事件本身決定，而不是個人所能控制
四、一致性意見如何形成
五、歷史會重復，但相反意見者卻要認真對待
六、濫用相反意見理論同樣會走向反面
第十七章突發消息獲利良機
一、一個人人皆知的消息是需要打折扣的
二、我們如何通過分析市場對消息的反應而獲利
三、投資人的獨特選擇——丑聞投資
第四部分投資者的心理素質與心理策略
第十八章成功投資者的心理歸因
一、沃倫·巴菲特
二、約翰·坦普爾頓
第十九章投資者需具備的心理素質
一、投資前的心理准備
二、辯證的思維
三、必備的心理素質
第二十章投資交易的一些心理策略
一、確立投資目標
二、確立投資理念
三、確立投資計劃
四、確立投資評估方法
第二十一章投資交易的十九條原則
一、心理調控
二、資金管理
主要參考文獻

4. 《超簡交易》連載5：正態分布與均值回歸

一、正態分布

正態分布（Normal distribution），也稱常態分布，是統計學中最重要的一種概率分布。正態分布概念是由德國數學家與天文學家Moivre於1733年首次提出的，但由於德國數學Gauss（C.F.Gauss，1777-1855）率先將其應用於天文學研究，故此正態分布又稱高斯分布（Gaussian distribution），是統計學中最重要的一種概率分布。

正態分布描述的是某件事出現不同結果的概率分布情況，屬於一般規律。正態分布的概率密度函數曲線呈鍾形，因此人們又經常稱之為鍾形曲線。鍾形曲線的特點是：兩頭低，中間高，左右對稱，曲線與橫軸間的面積總等於1。如下圖所示：

例如：假設抽樣調查了一個學校100名18歲男大學生身高（cm），身高為隨機變數、相互獨立，服從正態分布。身高的均值μ為172.70cm，標准差σ=4.01cm。這說明：均值μ代表了這些男大學生身高的期望值（或平均身高），中等身高的人比較多，而特別高的和特別低的人比較少。均值μ加減一個標准差σ會有68.27%的男大學生身高處於這個范圍，均值μ加減1.96個標准差σ會有95%的男大學生身高處於這個范圍，均值μ加減2.58個標准差σ會有99%的男大學生身高處於這個范圍。

正態分布對我們有什麼意義呢？與正態分布關系緊密的一個現象是「均值回歸」。

均值回歸（Mean Reversion）是以正態分布假設為基礎，認為事物在長期的變化過程中，總有向「平衡位置」（或均值位置）靠攏的傾向。「均值回歸」現象是英國人弗朗西斯·高爾頓（FrancisGalton，1822-1911）發現的。高爾頓出身名門，與著名的查爾斯·達爾文（Charles Robert Darwin，1809-1882）是堂兄弟。

大約1875年，高爾頓用一種甜豌豆種子做實驗，經過大量、艱辛的實驗，高爾頓發現，母豌豆的直徑變化范圍比子豌豆直徑的變化范圍要大很多。母豌豆平均直徑為0.18英寸，其變化范圍為0.15~0.21英寸，或者說在平均值0.18英寸兩側各0.03英寸之內。子豌豆的平均直徑為0.163英寸，其變化范圍是0.154~0.173英寸，或者說是僅在平均值0.163英寸兩邊各0.01英寸范圍內變動。子豌豆直徑的分布比母豌豆直徑的分布更為緊湊。

這種回歸，在自然界是非常必要的。因為如果這種回歸的進程不存在的話，那麼，大豌豆會繁殖出更大的豌豆，小的豌豆會繁殖出更小的豌豆……如果這樣，這個世界就會兩極化，只有侏儒和巨人。大自然會使每一代變得越來越畸形，最終達到我們無法接受的極端。均值回歸原理適用於日常生活，比如在體育運動方面，人人都有一個平均水平，只是有時會超水平發揮，有時會低於平均水平。任何一連串的重復活動，其結果通常都會接近平均值或中間值。

例如：打網球時連續揮拍24次，如果有一個球打得特別好，下一個球及可能有點拖泥帶水。如果不小心打了一記球，下一個球通產會打得漂亮一點。均值回歸原理在自然領域獲得了驗證，它又與一些社會現象頗為相似，例如：「天下大事，分久必合，合久必分」、「繁榮的必將衰亡，衰亡的必將繁榮」、「富不過三代」、「君子之澤，五世而斬」……等等。

均值回歸原理也激發了各種風險承擔和預測理論的產生。在聖經中，當約瑟夫對法老王預言「七個富年後必是七個荒年」的時候，他一定已經知道這是事物註定的規律了。而當J.P.摩根認為「市場是波動的」的時候，他所要表達的也正是這個意思。喬治·索羅斯也說：「凡事總有盛極而衰的時候，大好之後便是大壞」。

正如大多數人類活動一樣，股市中價格的均值回歸從理論上講具有必然性。因為有一點是可以肯定的，股票價格不能總是上漲或下跌，一種趨勢不管其持續的時間多長都不能永遠持續下去。在一個趨勢內，股票價格呈持續上升或下降，我們稱之為均值偏離（Mean Aversion，也叫均值迴避）。當出現相反趨勢時就呈均值回歸（Mean Reversion）。

這也是許多投資者所堅信的信條：當他們說某隻股票已經「高估」或者「低估」時，他們指的是恐懼和貪婪使得人們推動股價遠離了它的「內在價值」，但是股價最終是要回歸的。

二、何時回歸

巴菲特：「我覺得要預測會發生什麼比較簡單，但預測何時發生會比較困難」。「內在價值」，也許真的會「回歸」，但關鍵在於什麼時候回歸。

不同的股票市場，回歸的周期不一樣，就是對同一個股票市場來說，每次回歸的周期也不一樣。有時，長期趨勢來得太遲，即便均值回歸原理發揮了作用，也無法拯救我們了。到目前為止，均值回歸原理仍不能預測的是回歸的時間間隔，即回歸的周期「隨機漫步」。

一次，經濟學家凱恩斯說道：「先生們，從長遠來看，我們都會死掉的。」如果在狂風暴雨的季節里，經濟學家僅能預言：很久後風暴會過去的，一切又會恢復平靜的，那麼，他們的工作就太簡單、太無用了。如果一個人永遠強調房價會跌（或股價會漲），那麼這人更適合做民意代表，而不是預測者。從長遠看，沒有隻漲不跌的商品。如果不顧事實，永遠說會跌，這個猜硬幣正反有何區別？只要不改口，硬幣總有出反面的時候。

難道均值回歸只是一種中看不中用的理論嗎？在後續章節中，將會給出變通的方法，講述如何利用均值回歸原理，來捕捉行情走勢的波動。

三、回歸何處

均值回歸是一個簡單的概念：身材非常高的父母所生的孩子，一般會比他們的父母矮；而身材非常矮的父母所生的孩子，一般會比他們的父母高。對於大多數人來說，這是個很容易理解的概念。將這個觀點應用到證券價格的波動中，意味著證券價格會返回到平均值。

但是，我們遇到一個問題，身高的反轉是兩代人之間的生理現象，而價格反轉是一個實時的動態過程。還有一個重要問題就是「均值」怎麼確定。均值本身到底是多少，在經濟生活中卻是個很模糊的數字。昨天的均值很可能被今天新的正常值所取代，而我們對這個正常值卻一無所知。如果僅僅因為過去的經驗，認為會回歸到原來的均值上去，那是很危險的事情。

有人認為巴菲特是價值投資理念，也是基於均值回歸原理，但是學巴菲特的人多如牛毛，能夠成功的鮮如牛角。查理·芒格作為沃倫·巴菲特的最佳拍檔，有「幕後師爺」和「終極秘密武器」之稱。

有人曾問：如何評估一隻股票的「內在價值」？

芒格回答：搞清一隻股票的「內在價值」，遠比成為一個鳥類學家難得多。

依靠均值回歸預測未來是十分危險的，因為均值本身就變化不定。

揭露交易本質，奮斗財富自由。

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5. 為什麼說正態分布在經濟領域應用廣泛

正態分布在經濟領域的廣泛應用：
1．財務會計研究領域
隨著金融市場和現代企業制度的建立，財務會計向企業外部提供的財務信息倍受各利益關系人關注，而「財務會計信息有沒有用」這樣一個挑戰性的問題出現了。所以早期的實證會計研究主要是從有效市場假設（EMH）和資本資產定價模型（CAPM）出發，檢驗財務會計數據與其他經濟指標（特別是股價）的關系，如果財務會計指標（特別是會計收益指標）與股票價格相關，則說明會計信息的披露對證券市場的資源配置功能有效。後來這一結論被實證研究所證實，這有效地駁斥了「會計無用論」，從而奠定了實證會計研究的地位。近年來，會計政策選擇成為實證會計研究的重心，以解釋和預測企業「為什麼會選擇這種會計政策，而不採取那種會計政策」。例如：會計政策選擇與企業規模、地區分布、資本結構、分紅計劃。債務契約的關系；企業的外部利益關系人對會計信息反應的研究等，如果將上述問題給予抽象，它們都涉及「變數間的相互關系」這樣一個可以歸結為數學的問題。所以，針對上述問題，在研究隨時間變化、具有隨機性而又前後相互關聯的動態數據時，用到時間序列分析，它包括建立時間序列模型（ARIMA模型）、參數估計及譜估計等理論與方法。在討論多元變數之間是否存在線性相關時，運用多元線性回歸模型、典型相關分析和殘差檢驗。由於正態分布在會計數據中廣泛存在，例如，以任一會計科目作為總體，則不同時期該科目數額特別巨大和特別小（如為零）的比較少，則可以視之符合正態分布等，所以與正態分布相關的檢驗方法被大量使用：檢驗母體均值與原假設均值是否具有顯著差異的U一檢驗，檢驗兩個母體均值是否相等的T一檢驗，檢驗母體的方差與原假設方差是否具有顯著差異的X2一檢驗，檢驗兩個正態母體方差是否相等的F一檢驗。對不確定的母體分布採用非參數統計方法，如非參數檢驗。國外實證研究證實股票價格波動具有馬爾可夫性，即在有效的資本市場中現在的股票價格已反映了以往和現在的全部經濟信息，以前的股價行料對將來的股價波動不再具有信息價值，「將來」只與「現在」有關，而與「過去」無關。解決這方面問題的模型有：回歸一馬爾可夫模型、隨機游動模型。
2．理財、管理會計研究領域
現代理財論，總的說來是圍繞估價問題而展開的，這里所說的估價，既包括對個別「資本資產」的估價，也包括對企業總體價值的估價。如探討投資風險和投資報酬的投資組合理論（Portfolia Theory），後來該理論又發展為資本資產定價模型（CAPM），套利定價理論（Arbitrage Pricing Theroy）、探討資本結構與企業總價值關系的資本結構理論（Capital Structure Theory）、MM（Modigliani， Miller）理論、米勒模型（Miler Model）等。其中廣泛應用了微積分、線性代數及概率論與數理統計。針對創新金融工具的估價模式——期權定價模型則廣泛地應用了偏微分方程、隨機微分方程及倒向隨機微分方程等較為先進、復雜的數學理論與方法。
管理會計主要是利用信息來預測前景，參與決策。籌劃未來，控制和評價經濟活動等，保證以較少的勞動消耗和資金佔用，取得較好的經濟效益。管理會計應用的數學方法也相當廣泛，例如預測成本和銷售額時採用回歸分析，評價企業財務狀況、投資效益時採用層次分析法，預測經營狀況是採用具有吸收狀態（企業破產）的馬爾可夫鏈。另外還有「經濟定貨量」模型、「經濟生產量」模型、敏感分析、彈性分析等，則是應用微分學解決經濟問題的一些典範。管理會計中許多問題可以歸結為：數學分析中的極值問題；數學規劃中一定約束條件下的目標函數的最值問題；馬爾可夫相關理論問題；在約束條件和目標函數不能用線性方程或線性函數表示時的非線性規劃問題；在解決多階段決策問題時的動態規劃問題；解決如何經濟、合理地設置服務設施，從而以最低成本最大地滿足顧客需要問題時的排隊論問題，如人力資源選擇，機器設備選購等；導源於宏觀經濟管理並在微觀經濟管理中也有廣泛地應用的投入——產出分析問題，例如，用於多階段生產條件下生產與成本計劃的制定。
3．審計研究領域
審計主要是通過對財務會計信息的鑒證，以增強信息使用者對財務會計信息信任程度。在審計中最常用的數學方法是抽樣技術。隨著統計科學和企業規模的不斷發展，許多會計公司將統計抽樣理論與審計相結合，設計出了審計抽樣技術。對受審單位的內部控制制度有效性進行符合性測試時，採用屬性抽樣，如連續性抽樣，發現抽樣。在實質性測試中採用變數抽樣，如分層隨機抽樣及累計概率比例抽樣法（PPS），這對於減少審計風險和成本，提高審計工作效率和效果意義重大，因為嚴格遵循隨機原則抽取樣本，根據總體容量、誤差率、精確度、可信水平等因素綜合分析得到樣本容量，其分布規律更加接近於審計總體的分布規律。另外，在預測突發事件或不確定性問題時，歷史數據或既定的模型並不能完全反映它們，在這種情況下還要結合專家的專業判斷、經驗進行預測，也就是說，這一步的後驗分布又是下一步先驗分布的基礎，不斷對模型進行修正使之「動態化」，以提高預測精度。近年來，判別分析模型和聚類分析模型在國外也開始引入審計研究領域。對於定性資料的統計分析方面，Logit模型和probit模型被廣泛應用，例如用於預測注冊會計師簽署審計意見類型等。
值得注意的是，當人們尋求用定量方法處理復雜經濟問題時，容易注重於數學模型的邏輯處理，而忽視數學模型微妙的經濟含義或解釋，實際上，這樣的數學模型看來理論性很強，其實不免牽強附會，從而脫離實際。與其如此，不如從建模型一開始就老實承認數學方法的不足，而求助於經驗判斷，將定性的方法與定量的方法相結合，最後定量。

6. 正態分布論有什麼重要意義

正態分布最初由棣莫弗研究二項式時推導得出，後來高斯又從另一個方面導出了正態分布的表達式，研究了正態分布的一系列性質並將其應用於天文學研究，因此正態分布通常又被叫做高斯分布。10元幣值的德國馬克上印有高斯的頭像和正態分布曲線，高斯是舉世聞名的大數學家，其對數學的貢獻數不勝數，但德國人卻唯獨將正態分布挑出來印在馬克上，足以說明在德國人乃至整個西方數學界，高斯最大的貢獻不是別的，正是正態分布。正態分布英文名稱Normal Distribution，直譯意思是"一般分布"，表示這個分布具有一般性，這是因為不論是自然界還是人類社會，絕大多數隨機現象都服從正態分布，例如人的身高和體重分布、學生的成績分布、股票組合的收益率分布、隨機誤差的分布、產品質量分布等都服從正態分布，另一方面，概率論中的其他分布如Possion分布、t分布、F分布等多由正態分布推導而出，在一定的條件下，所有其他的分布都可用正態分布來近似，正態分布在概率論中具有無可置疑的基礎性地位。正態分布是自然科學與行為科學中的定量現象的一個方便模型。各種各樣的心理學測試分數和物理現象比如光子計數都被發現近似地服從正態分布。盡管這些現象的根本原因經常是未知的， 理論上可以證明如果把許多小作用加起來看做一個變數，那麼這個變數服從正態分布(在R.N.Bracewell的Fourier transform and its application中可以找到一種簡單的證明)。

7. 股票收益率服從正態分布，這種假設合理嗎

其實也有點道理，里大盤越近，追蹤大盤越緊的收益率越高！希望能夠認可。

8. 為什麼假設股票價格服從正態分布是不現實的

股票價格多半不是自然形成，而是人為操縱的成份比較大，尤其受政策影響非常明顯 。

9. 正太分布問題

正態分布，不是正太分布

生產與科學實驗中很多隨機變數的概率分布都可以近似地用正態分布來描述。例如，在生產條件不變的情況下，產品的強力、抗壓強度、口徑、長度等指標；
一種生物體的身長、體重等指標；同一種種子的重量；測量同一物體的誤差；彈著點沿某一方向的偏差；某個地區的年降水量；以及理想氣體分子的速度分量，等等。一般來說，如果一個量是由許多微小的獨立隨機因素影響的結果，那麼就可以認為這個量具有正態分布（見中心極限定理）。從理論上看，正態分布具有很多良好的性質 ，許多概率分布可以用它來近似；還有一些常用的概率分布是由它直接導出的，例如對數正態分布、t分布、F分布等。

個人資產受限較多，如國家政策，個人能力，社會環境等，人為因素太大，一般不遵循正態分布